BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng: $ax + by = c{\text{ (}}a,b,c \in \mathbb{R},{\text{ }}{a^2} + {b^2} \ne 0)$.
Cặp số $({x_0};{y_0})$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$ nếu $({x_0};{y_0})$ thỏa mãn phương trình $ax + by = c$.
Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình $ax + by = c$ trong mặt phẳng $Oxy$ là một đường thẳng $d:ax + by = c \Leftrightarrow y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$.
2.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng $\left( I \right):\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y = {c_1} \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y = {c_2} \hfill \\ \end{gathered} \right. $với $x,y$ là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số hoặc định thức Crame.
Quy tắc Crame:
Ký hiệu: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1},$ ${\text{ }}{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}} \\ {{c_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = {c_1}{b_2} - {c_2}{b_1},$${\text{ }}{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}.$
- Nếu $D \ne 0$: Hệ có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{{{D_x}}}{D},{\text{ }}y = \dfrac{{{D_y}}}{D} \cdot $
- Nếu $D = 0$:
+ ${D_x} \ne 0$ hoặc ${D_y} \ne 0$: Hệ vô nghiệm.
+ ${D_x} = {D_y} = 0$: Hệ có vô số nghiệm.
Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm $(x;y)$ của hệ $(I)$ là tọa độ điểm $M(x;y)$ thuộc cả 2 đường thẳng:
$({d_1}):{a_1}x + {b_1}y = {c_1}$ và $({d_2}):{a_2}x + {b_2}y = {c_2}.$
$ \bullet $ Hệ $(I)$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow ({d_1})$ và $({d_2})$ cắt nhau $ \Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}$
$ \bullet $ Hệ $(I)$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow ({d_1})$ và $({d_2})$ song song với nhau$ \Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$
$ \bullet $ Hệ $(I)$ có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow ({d_1})$ và $({d_2})$ trùng nhau $ \Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$
3. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Dạng: $\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1} \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2} \hfill \\ {a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ với $x,y,z$ là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
Cách giải: Phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế.
Ví dụ 1: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
A. $x - y-2 = 0$.
B. $x + y + 2 = 0$.
C. $2x + y + 2 = 0$.
D. $2x - y-2 = 0$.
Lời giải
Chọn D.
Giả sử đường thẳng có phương trình $y = ax + b$ . Đường thẳng đi qua $2$ điểm $(1;0),(0; - 2)$ nên tọa độ $2$ điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{gathered} a + b = 0 \hfill \\ b = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy đường thẳng có phương trình: $y = 2x - 2 \Leftrightarrow 2x - y - 2 = 0.$
Ví dụ 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
A. $3x - 2y + 6 = 0$.
B. $3x + 2y + 6 = 0$.
C. $ - 3x - 2y + 6 = 0$.
D. $3x - 2y + 3 = 0$.
Lời giải
Chọn A.
Giả sử đường thẳng có phương trình $y = ax + b$. Đường thẳng đi qua $2$ điểm $( - 2;0),(0;3)$ nên tọa độ $2$ điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{gathered} - 2a + b = 0 \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \dfrac{3}{2} \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy đường thẳng có phương trình: $y = \dfrac{3}{2}x + 3 \Leftrightarrow 3x - 2y + 6 = 0$
Ví dụ 3: Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình $3x - 2y - 6 = 0$?
A. $\left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)$.
B. $\left( { - 2; - 6} \right)$.
C. $\left( {3; - 2} \right)$.
D. $\left( {2;6} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 4: Hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} x + 2y = 1 \hfill \\ 3x + 6y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?
A. $0.$
B. $1.$
C. $2.$
D. Vô số nghiệm.
Lời giải
Chọn D.
Ta lập các tỉ số: $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
$ \Rightarrow $ Hệ phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 5: Hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} \dfrac{6}{x} + \dfrac{5}{y} = 3 \hfill \\ \dfrac{9}{x} - \dfrac{{10}}{y} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm là:
A. $( - 3; - 5).$
B. $(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{5}).$
C. $(3;5).$
D. $(\dfrac{{ - 1}}{3};\dfrac{{ - 1}}{5}).$
Lời giải
Chọn C.
Đặt ẩn phụ: $u = \dfrac{1}{x},v = \dfrac{1}{y}$.
Hệ phương trình trở thành$\left\{ \begin{gathered} 6u + 5v = 3 \hfill \\ 9u - 10v = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 12u + 10v = 6 \hfill \\ 9u - 10v = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u = \dfrac{1}{3} \hfill \\ v = \dfrac{1}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ví dụ 6: Hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} \left| {x - 1} \right| + y = 0 \hfill \\ 2x - y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm là
A. $x = - 3;y = 2.$
B. $x = 2;y = - 1.$
C. $x = 4;y = - 3.$
D. $x = - 4;y = 3.$
Lời giải
Chọn B.
Từ phương trình $(2)$, rút $y$ theo $x$, rồi thay vào phương trình $(1)$.
Ta có : $\left| {x - 1} \right| + 2x - 5 = 0$$ \Leftrightarrow 5 - 2x \geqslant 0 \cap \left[ \begin{gathered} x - 1 = 5 - 2x \hfill \\ x - 1 = - 5 + 2x \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow x = 2$$ \Rightarrow y = - 1$.
Ví dụ 7: Hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x - y - z = - 1 \hfill \\ 7y - z = 5 \hfill \\ 2z = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm là:
A. $(2;1;2).$
B. $( - 2; - 1; - 2).$
C. $( - 2; - 1;2).$
D. $(2; - 1; - 2).$
Lời giải
Chọn A.
Từ phương trình cuối suy ra $z = 2$ thay giá trị này của $z$ vào phương trình thứ hai, ta được $y = 1.$ Cuối cùng, thay các giá trị của $y$ và $z$ vừa tìm được vào phương trình đầu ta tìm được $x = 2$.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y;z) = (2;1;2).$
Ví dụ 8: Hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x + y + z = 3 \hfill \\ 2x - y + 2z = - 3 \hfill \\ x - 3y - 3z = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm là:
A. $(1; 3;–1).$
B. $(1; 3;–2).$
C. $(1; 2; –1).$
D. $(1; –3; –1).$
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
Cộng phương trình thứ nhất và thứ hai theo vế, ta được hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{gathered} x + y + z = 3 \hfill \\ 3x + 3z = 0 \hfill \\ x - 3y - 3z = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Nhân hai vế phương trình đầu với $3$, xong đem cộng theo vế với phương trình cuối, ta được hệ
$\left\{ \begin{gathered} x + y + z = 3 \hfill \\ x + z = 0 \hfill \\ 4x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Từ phương trình cuối ta có $x = 1,$ thay vào phương trình hai tính được $z = - 1.$ thay đồng thời $x,z$ vào phương trình đầu thì $y = 3.$ Vậy nghiệm của hệ là $(1;3; - 1).$
Cách 2:
Rút ẩn từ một phương trình thay vào hai phương trình còn lại.
Từ phương trình đầu ta rút được $z = 3 - x - y,$ đem thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ:
$\left\{ \begin{gathered} z = 3 - x - y \hfill \\ 2x - y + 2z = - 3 \hfill \\ x - 3y - 3z = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Thế phương trình đầu vào hai phương trình sau ta có hệ
$\left\{ \begin{gathered} z = 3 - x - y \hfill \\ - 3y = - 9 \hfill \\ 4x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Từ hai phương trình cuối dễ tính được $x = 1,y = 3.$ Thay vào phương trình đầu được $z = - 1.$
Vậy nghiệm của hệ là $(1;3; - 1).$
Ví dụ 9: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} mx + y = m \hfill \\ x + my = m \hfill \\ \end{gathered} \right.$, $m$ là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi
A. $m \ne 1.$
B. $m \ne - 1.$
C. $m \ne \pm 1.$
D. $m \ne 0.$
Lời giải
Chọn C.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y = {c_1} \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y = {c_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ với $a_1^2 + b_1^2 \ne 0,a_2^2 + b_2^2 \ne 0.$
Cách 1:
Tính các định thức: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|$, ${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}} \\ {{c_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|$, ${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|$.
Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\dfrac{{{D_x}}}{D};\dfrac{{{D_y}}}{D}} \right)$ khi $D \ne 0.$
Cách 2:
Nếu tỉ số: $\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}$ thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left( {\dfrac{{{D_x}}}{D};\dfrac{{{D_y}}}{D}} \right).$
Áp dụng:
Cách 1:
Ta có: $D = {m^2} - 1$ .
Hệ có nghiệm duy nhất khi $D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1.$
Cách 2:
Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{m}{1} \ne \dfrac{1}{m} \Leftrightarrow m \ne \pm 1.$
Ví dụ 10: Tìm điều kiện của tham số $m$ để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm: $\left\{ \begin{gathered} 3x - my = 1 \hfill \\ - mx + 3y = m - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
A. $m \ne 3$ hay $m \ne - 3.$
B. $m \ne 3$ và $m \ne - 3.$
C. $m \ne 3.$
D. $m \ne - 3.$
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
Ta có : $D = \left| \begin{gathered} 3 - m \hfill \\ - m3 \hfill \\ \end{gathered} \right| = 9 - {m^2}$
Phương trình có đúng một nghiệm khi $D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 3$.
Cách 2:
Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{3}{{ - m}} \ne \dfrac{{ - m}}{3} \Leftrightarrow m \ne \pm 3.$
Ví dụ 11: Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng sau cắt nhau:
$\left( {{d_1}} \right):\left( {{m^2}--1} \right)x--y + 2m + 5 = 0$ và $\left( {{d_2}} \right):3x--y + 1 = 0.$
A. $m = - 2.$
B. $m = 2.$
C. $m = 2$ hay $m = - 2.$
D. $m \ne \pm 2.$
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} ({m^2} - 1)x - y = - 2m - 5 \hfill \\ 3x - y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm duy nhất
$ \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2.$
Cách 2:
Ta có: Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau khi $\dfrac{{{m^2} - 1}}{3} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \Leftrightarrow {m^2} \ne 4 \Leftrightarrow m \ne \pm 2.$
Ví dụ 12: cho hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} mx + y = m \hfill \\ x + my = m \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , $m$ là tham số. Hệ vô nghiệm khi
A. $m = 0.$
B. $m = 1.$
C. $m = - 1.$
D. Với mọi m $ \in \mathbb{R}.$
Lời giải
Chọn C.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y = {c_1} \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y = {c_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ với $a_1^2 + b_1^2 \ne 0,a_2^2 + b_2^2 \ne 0.$
Cách 1:
Tính các định thức: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|$, ${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}} \\ {{c_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|$, ${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|$.
-Hệ vô nghiệm khi $D = 0$ và có ít nhất một trong hai định thức${D_x} \ne 0$ hoặc ${D_y} \ne 0.$
-Hệ có nghiệm khi $\left[ \begin{gathered} D \ne 0 \hfill \\ D = {D_x} = {D_y} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Cách 2:
-Hệ vô nghiệm khi: $\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.$
-Hệ có nghiệm khi: $\left[ \begin{gathered} \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \hfill \\ \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Áp dụng:
Cách 1:
Hệ vô nghiệm khi $\left\{ \begin{gathered} {m^2} - 1 = 0 \hfill \\ {m^2} - m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 1.$
Vậy $m = - 1$ thì hệ vô nghiệm.
Cách 2:
Hệ vô nghiệm khi: $\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m} \ne \dfrac{m}{m} \Leftrightarrow m = - 1.$
Vậy $m = - 1$ thì hệ vô nghiệm.
Ví dụ 13: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} mx + \left( {m + 4} \right)y = 2 \hfill \\ m\left( {x + y} \right) = 1 - y \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Để hệ này vô nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số $m$ là:
A. $m = 0$
B. $m = 1$ hay $m = 2.$
C. $m = - 1$ hay $m = \dfrac{1}{2}.$
D. $m = - \dfrac{1}{2}$ hay $m = 3.$
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
Ta có: Hệ tương đương $\left\{ \begin{gathered} mx + \left( {m + 4} \right)y = 2 \hfill \\ mx + \left( {m + 1} \right)y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$D = m\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 4} \right) = - 3m$
${D_x} = m - 2;{D_y} = - 2m.$
Xét $D = 0 \Leftrightarrow m = 0,$ khi đó ${D_x} = - 2 \ne 0 \Rightarrow$ hệ vô nghiệm.
Vậy $m = 0$ hệ vô nghiệm.
Cách 2:
Ta có: Hệ trở thành $\left\{ \begin{gathered} mx + \left( {m + 4} \right)y = 2 \hfill \\ mx + \left( {m + 1} \right)y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Rightarrow D = m\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 4} \right) = - 3m.$
Hệ vô nghiệm $ \Rightarrow $$D = 0$$ \Rightarrow m = 0.$
Thử lại thấy $m = 0$ thoả điều kiện.
Vậy $m = 0$ hệ vô nghiệm.
Ví dụ 14: Với giá trị nào của $m$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x + 2y = 3 \hfill \\ mx + y = 1 - m \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm?
A. $m < \dfrac{1}{2}$.
B. $m = \dfrac{1}{2}$.
C. $m \ne \dfrac{1}{2}$.
D. $m > \dfrac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn C.
$D = 1 - 2m.$
${D_x} = m + 1;{D_y} = - 4m + 1.$
Xét $D = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2},$khi đó ${D_x} = \dfrac{3}{2} \ne 0 \Rightarrow $ hệ vô nghiệm.
$m = - \dfrac{1}{2}$ không thỏa mãn.
Ví dụ 15: Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng sau song song với nhau:
$\left( {{d_1}} \right):\left( {{m^2}--1} \right)x--y + 2m + 5 = 0$ và $\left( {{d_2}} \right):3x--y + 1 = 0$
A. $m = - 2.$
B. $m = 2.$
C. $m = 2$ hay $m = - 2.$
D. $m \ne \pm 2.$
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
Để hai đường thẳng song song với nhau thì hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} ({m^2} - 1)x - y = - 2m - 5 \hfill \\ 3x - y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ vô nghiệm.
$ \Leftrightarrow D = 0;{D_x} \ne 0$ hoặc ${D_y} \ne 0.$
Ta có $D = - {m^2} + 4;{D_x} = 2m + 4;{D_y} = {m^2} + 6m + 16.$
$D = 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2.$
$m = 2$ thì ${D_x} = 8 \ne 0 \Rightarrow $hệ vô nghiệm. $m = 2$ thỏa mãn.
$m = - 2$ thì ${D_x} = 0;{D_y} \ne 0 \Rightarrow $hệ vô nghiệm. $m = - 2$ thỏa mãn.
Vậy $m = \pm 2$ thì hai đường thẳng song song với nhau.
Cách 2:
Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$song song khi $\dfrac{{{m^2} - 1}}{3} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 2m - 5}}{{ - 1}} \Leftrightarrow m = \pm 2.$
Vậy $m = \pm 2$ thì hai đường thẳng song song với nhau.
Ví dụ 16: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau $\left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 x + 4y = - 1 \hfill \\ 2x + 4\sqrt 2 y = - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
A. Vô nghiệm.
B. 1 nghiệm.
C. 2 nghiệm.
D. Vô số nghiệm.
Lời giải
Chọn D.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y = {c_1} \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y = {c_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ với $ (a_1^2 + b_1^2 \ne 0,a_2^2 + b_2^2 \ne 0).$
Cách 1:
Tính các định thức: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|$, ${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}} \\ {{c_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|$, ${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|$.
Hệ vô số nghiệm khi $D = {D_x} = {D_y} = 0.$
Cách 2:
Xét tỉ số: $\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ thì hệ đã cho vô số nghiệm.
Áp dụng:
Cách 1:
Ta có $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 }&4 \\ 2&{4\sqrt 2 } \end{array}} \right| = 0$, ${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&4 \\ { - \sqrt 2 }&{4\sqrt 2 } \end{array}} \right| = 0$, ${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 }&{ - 1} \\ 2&{ - \sqrt 2 } \end{array}} \right| = 0.$
Suy ra hệ phương trình vô số nghiệm.
Ví dụ 17: Tìm $m$ để hệ sau vô số nghiệm $\left\{ \begin{gathered} 2{m^2}x + 3\left( {m - 1} \right)y = 3 \hfill \\ m\left( {x + y} \right) - y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
A. $m = 2$ và $m = \dfrac{1}{2}$.
B. $m = 3$ và $m = \dfrac{1}{2}$.
C. $m \ne 1,m \ne \dfrac{1}{3}$.
D. $m \in \emptyset $.
Lời giải
Chọn D.
Hệ phương trình tương đương với $\left\{ \begin{gathered} 2{m^2}x + 3\left( {m - 1} \right)y = 3 \hfill \\ mx + \left( {m - 2} \right)y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ta có hệ vô số nghiệm khi: $\dfrac{{2{m^2}}}{m} = \dfrac{{3(m - 1)}}{{m - 2}} = \dfrac{3}{2}$
$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{3(m - 1)}}{{m - 2}} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ \dfrac{{2{m^2}}}{m} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \dfrac{3}{4} \hfill \\ m = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Không có giá trị nào để hệ vô số nghiệm.
Ví dụ 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ $\left\{ \begin{gathered} mx + 3y = m - 1 \hfill \\ 2x + (m - 1)y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ vô số nghiệm.
A. $m = - 2.$
B. $m \ne 3$ và $m \ne – 2.$
C. $m = - 2,m = 4.$
D. $m = 3.$
Lời giải
Chọn A.
Ta có hệ vô số nghiệm khi: $\dfrac{m}{2} = \dfrac{3}{{m - 1}} = \dfrac{{m - 1}}{3}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{m}{2} = \dfrac{3}{{m - 1}} \hfill \\ \dfrac{3}{{m - 1}} = \dfrac{{m - 1}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 2.$
Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + \left( {m + 1} \right)z = 2}&{(1)} \\ \begin{gathered} 3x + 4y + 2z = m + 1 \hfill \\ 2x + 3y - z = 1 \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} (2) \hfill \\ (3) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.$ vô số nghiệm?
A. $m = 2.$
B. $m = - 3.$
C. $m = 1.$
D. $m \ne 2.$
Lời giải
Chọn A.
Từ $(3)$ suy ra $z = 2x + 3y - 1$. Thế vào $(1)$ và $(2)$ ta được:
$\left\{ \begin{gathered} x + y + (m + 1)(2x + 3y - 1) = 2 \hfill \\ 3x + 4y + 2(2x + 3y - 1) = m + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} (2m + 3)x + (3m + 4)y = m + 3 \hfill \\ 7x + 10y = m + 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ta có:
$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2m + 3}&{3m + 4} \\ 7&{10} \end{array}} \right| = 2 - m$;
${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 3}&{3m + 4} \\ {m + 3}&{10} \end{array}} \right| = 3(m + 3)(2 - m)$;
${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2m + 3}&{m + 3} \\ 7&{m + 3} \end{array}} \right| = - 2(m + 3)(2 - m)$.
Hệ phương trình có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow D = {D_x} = {D_y} = 0 \Leftrightarrow m = 2.$
Ví dụ 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - z = 1}&{(1)} \\ \begin{gathered} 2x + 3y + mz = 3 \hfill \\ x + my + 3z = 2 \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} (2) \hfill \\ (3) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.$ vô nghiệm.
A. $m = 2.$.
B. $m = - 3.$
C. $m = 1.$
D. $m \ne 2,m \ne – 3.$
Lời giải
Chọn B.
Từ $(1)$ suy ra $z = x + y - 1$. Thay vào $(2)$ và $(3)$ ta được
$\left\{ \begin{gathered} 2x + 3y + m(x + y - 1) = 3 \hfill \\ x + my + 3(x + y - 1) = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} (m + 2)x + (m + 3)y = m + 3 \hfill \\ 4x + (m + 3)y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ta có:
$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 2}&{m + 3} \\ 4&{m + 3} \end{array}} \right| = (m + 3)(m - 2),$${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 3}&{m + 3} \\ 5&{m + 3} \end{array}} \right| = (m + 3)(m - 2),$${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 2}&{m + 3} \\ 4&5 \end{array}} \right| = m – 2.$ Hệ vô nghiệm khi $D = 0,{D_x} \ne 0$ hoặc $D = 0,{D_y} \ne 0.$
Với ${\text{D = }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 2 \hfill \\ m = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$:
+ Khi $m = 2$ ta có ${\text{D}} = {D_x} = {D_y} = 0$ nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình $4x + 5y = 5 \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 4}}{5}x + 1$.
Do đó hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {5t; - 4t + 1} \right),t \in \mathbb{R}$.
+ Khi $m = - 3$ ta có $D = 0,{D_y} \ne 0$ nên hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ $\left\{ \begin{gathered} mx + y = 1 \hfill \\ my + z = 1 \hfill \\ x + mz = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm duy nhất?
A. $m \ne 1.$
B. $m = 1.$
C. $m = - 1.$
D. $m \ne – 1.$
Lời giải
Chọn D.
Từ $(2)$ suy ra $z = 1 - my$. Thay vào $(3)$ ta được:
$\left\{ \begin{gathered} mx + y = 1 \hfill \\ x - {m^2}y = 1 - m \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{m}{1} \ne \dfrac{1}{{ - {m^2}}} \Leftrightarrow m \ne – 1.$
Ví dụ 22: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính $20m$, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ $20$ giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ $4$ giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
A. $3\pi (m/s);2\pi (m/s).$
B. $3\pi (m/s);\pi (m/s).$
C. $3\pi (m/s);4\pi (m/s).$
D. $3\pi (m/s);\dfrac{\pi }{2}(m/s).$
Lời giải
Chọn A.
Gọi vận tốc của Vật I là $x(m/s)$.$(x > 0)$.
Gọi vận tốc của Vật II là $y(m/s).$$(y > 0;y < x)$.
- Sau $20s$ hai vật chuyển động được quãng đường là $20x, 20y (m)$.
Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ $20$ giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình:
$20x - 20y = 20\pi .$
- Sau $4s$ hai vật chuyển động được quãng đường là $4x, 4y (m)$.
Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ $4$ giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình:
$4x + 4y = 20\pi .$
Từ hai phương trình trên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} 20x - 20y = 20\pi \hfill \\ 4x + 4y = 20\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Giải hệ PT ta được: $\left\{ \begin{gathered} x = 3\pi \hfill \\ y = 2\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy vận tốc của hai vật là: $3\pi (m/s)$và $2\pi (m/s)$.
Ví dụ 23: Một công ty có $85$ xe chở khách gồm $2$ loại, xe chở được $4$ khách và xe chở được $7$ khách. Dùng tất cả số xe đó, tối đa công ty chở một lần được $445$ khách. Hỏi công ty đó có mấy xe mỗi loại?
A. $35$ xe $4$ chỗ và $50$ xe $7$ chỗ.
B. $55$ xe $4$ chỗ và $30$ xe $7$ chỗ.
C. $30$ xe $4$ chỗ và $55$ xe $7$ chỗ.
D. $50$ xe $4$ chỗ và $35$ xe $7$ chỗ.
Lời giải
Chọn D.
Gọi số xe loại $4$ chỗ là $x$, số xe loại $7$ chỗ là $y$ với $x,y \in \mathbb{N}.$
Theo bài ra ta có hệ PT $\left\{ \begin{gathered} x + y = 85 \hfill \\ 4x + 7y = 445 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Giải hệ ta được: $\left\{ \begin{gathered} x = 50 \hfill \\ y = 35 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy có $50$ xe loại $4$ chỗ và $35$ xe loại $7$ chỗ.
Ví dụ 24: Có hai loại quặng sắt. quặng loại $A$ chứa $60\% $sắt, quặng loại $B$ chứa $50\%$ sắt. Người ta trộn một lượng quặng loại $A$ với một lượng quặng loại $B$ thì được hỗn hợp chứa $\dfrac{8}{{15}}$ sắt. Nếu lấy tăng hơn lúc đầu là $10$ tấn quặng loại $A$ và lấy giảm hơn lúc đầu là $10$ tấn quặng loại $B$ thì được hỗn hợp quặng chứa $\dfrac{{17}}{{30}}$ sắt. Khối lượng (tấn) quặng $A$ và quặng $B$ ban đầu lần lượt là
A. $10;15.$
B. $10;20.$
C. $10;14.$
D. $10;12.$
Lời giải
Chọn B.
Gọi khối lượng quặng đem trộn lúc đầu quặng loại $A$ là $x$(tấn), quặng loại $B$ là $y$ (tấn), $x > 0,y > 10$.
Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{60}}{{100}}x + \dfrac{{50}}{{100}}y = \dfrac{8}{{15}}\left( {x + y} \right) \hfill \\ \dfrac{{60}}{{100}}\left( {x + 10} \right) + \dfrac{{50}}{{100}}\left( {y - 10} \right) = \dfrac{{17}}{{30}}\left( {x + 10 + y - 10} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Giải hệ trên ta được: $\left\{ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ y = 20 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy khối lượng quặng A và B đem trộn ban đầu lần lượt là $10$ tấn và $20$ tấn.
Ví dụ 25: Một dung dịch chứa $30\%$ axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa $55\%$ axit nitơric. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại $1$ và loại $2$ để được $100$ lít dung dịch $50\%$ axit nitơric?
A. $20$ lít dung dịch loại $1$ và $80$ lít dung dịch loại $2.$
B. $80$ lít dung dịch loại $1$ và $20$ lít dung dịch loại $2.$
C. $30$ lít dung dịch loại $1$ và $70$ lít dung dịch loại $2.$
D. $70$ lít dung dịch loại $1$ và $30$ lít dung dịch loại $2.$
Lời giải
Chọn A.
Gọi $x,y$ theo thứ tự là số lít dung dịch loại $1$ và $2$ với $x,y > 0.$
Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại $1$ là $\dfrac{{30}}{{100}}x$ và loại $2$ là $\dfrac{{55}}{{100}}y.$
Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} x + y = 100 \hfill \\ \dfrac{{30}}{{100}}x + \dfrac{{55}}{{100}}y = 50 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Giải hệ này ta được: $x = 20;y = 80.$
Ví dụ 26: Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất $7$ giây . Cho biết sân ga dài $378m$ và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là $25$ giây.
A. Vận tốc của tàu là $21m/s$ và chiều dài đoàn tàu là $147m$.
B. Vận tốc của tàu là $23 m/s$ và chiều dài đoàn tàu là $145 m$.
C. Vận tốc của tàu là $21 m/s$ và chiều dài đoàn tàu là $145 m$.
D. Vận tốc của tàu là $23 m/s$ và chiều dài đoàn tàu là $147 m$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $x(m/s)$ là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga, $(x > 0).$
Gọi $y(m)$ là chiều dài của đoàn tàu, $(y > 0).$
- Tàu chạy ngang văn phòng ga mất $7$ giây nghĩa là với vận tốc $x(m/s)$, tàu chạy quãng đường $y(m)$ mất $7$ giây.
Ta có phương trình: $y = 7x.$
- Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài $378m$ cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất $25$ giây nghĩa là với vận tốc $x(m/s)$ tàu chạy quãng đường $(y + 378)(m)$ mất $25$ giây.
Ta có phương trình: $y + 378 = 25x.$
- Từ hai phương trình trên ta được hệ phương trình:
$\left\{ \begin{gathered} 7x - y = 0 \hfill \\ 25x - y = 378 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
- Giải hệ ta được: $x = 21;y = 147$ (thỏa mãn).
Vậy vận tốc của đoàn tàu là $21(m/s)$ và chiều dài của đoàn tàu là$147m.$
Ví dụ 27: Có ba lớp học $10A,10B,10C$ gồm $128$ em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp $10A$ trồng được $3$ cây bạch đàn và $4$ cây bàng. Mỗi em lớp $10B$ trồng được $2$ cây bạch đàn và $5$ cây bàng. Mỗi em lớp $10C$ trồng được $6$ cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là $476$ cây bạch đàn và $375$ cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
A. Lớp $10A$ có $40$ em, lớp $10B$ có $43$ em, lớp $10C$ có $45$ em
B. Lớp $10A$ có $45$ em, lớp $10B$ có $43$ em, lớp $10C$ có $40$ em.
C. Lớp $10A$ có $45$ em, lớp $10B$ có $40$ em, lớp $10C$ có $43$ em.
D. Lớp $10A$ có $43$ em, lớp $10B$ có $40$ em, lớp $10C$ có $45$ em.
Lời giải
Chọn A.
Gọi số học sinh của lớp $10A,{\text{ }}10B,{\text{ }}10C$ lần lượt là $x,y,z.$
Điều kiện: $x,y,z$ nguyên dương.
Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered} x + y + z = 128 \hfill \\ 3x + 2y + 6z = 476 \hfill \\ 4x + 5y = 375 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Giải hệ ta được $x = 40,y = 43,z = 45.$
Ví dụ 28: Một số có ba chữ số. Nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $17$ và dư $7$. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng trăm cho nhau thì được số mới mà chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $54$ và dư $8$. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số mới này cho nhau thì được một số mà chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $15$ và dư là $14$. Vậy số đã cho ban đầu là:
A. $172$.
B. $296$.
C. $124$.
D. $587$.
Lời giải
Chọn B.
Gọi số có ba chữ số cần tìm có dạng $\overline {xyz}.$
Điều kiện: $x > 0;{\text{ }}y,{\text{ }}z \geqslant 0;x,y,z \in \mathbb{N}.$
- Số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $17$ và dư $5$ nên ta có phương trình:
$\dfrac{{100x + 10y + z}}{{x + y + z}} = 17 + \dfrac{7}{{x + y + z}} \Leftrightarrow 83x - 7y - 16z = 7.$
- Tương tự ta có phương trình: $ - 44x + 46y - 53z = 8$ và $85x - 14y - 5z = 14.$
Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} 83x - 7y - 16z = 7 \hfill \\ - 44x + 46y - 53z = 8 \hfill \\ 85x - 14y - 5z = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Giải hệ ta được $x = 2,y = 9,z = 6.$
Ví dụ 29: Có $12$ người ăn $12$ cái bánh. Mỗi người đàn ông ăn $2$ chiếc, mỗi người đàn bà ăn $1/2$ chiếc và mỗi trẻ em ăn $1/4$ chiếc. Hỏi có bao nhiêu người đàn ông, đàn bà và trẻ em ?
A. $5$ đàn ông, $1$ đàn bà, $6$ trẻ em.
B. $5$ đàn ông, $6$ đàn bà, $1$ trẻ em.
C. $6$ đàn ông, $1$ đàn bà, $5$ trẻ em.
D. $6$ đàn ông, $5$ đàn bà, $1$ trẻ em.
Lời giải
Chọn A.
Gọi số đàn ông, đàn bà và trẻ em lần lượt là $x,y,z.$
Điều kiện: $x,y,z$ nguyên dương và nhỏ hơn 12.
Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered} x + y + z = 12 \hfill \\ 2x + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{4} = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 2y + 2z = 24(1) \hfill \\ 8x + 2y + z = 48(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: $6x - z = 24 \Leftrightarrow z = 6x - 24.$
Do $0 < z < 12$$ \Leftrightarrow $$0 < 6x - 24 < 12 \Leftrightarrow 4 < x < 6$$ \Rightarrow $$x = 5.$
Thay $x$ vào hệ trên ta tính được $y = 1;z = 6.$
Vậy có 5 đàn ông, 1 đàn bà và 6 trẻ em.
