BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phương trình một ẩn
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ có tập xác định lần lượt là ${D_f}$ và ${D_g}$. Đặt $D = {D_f} \cap {D_g}$. Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng $f\left( x \right) < g\left( x \right)$, $f\left( x \right) > g\left( x \right)$, $f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)$, $f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)$ được gọi là bất phương trình một ẩn ; $x$ được gọi là ẩn số (hay ẩn) và $D$ gọi là tập xác định của bất phương trình.
${x_0} \in D$ gọi là một nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $f\left( {{x_0}} \right) < g\left( {{x_0}} \right)$ là mệnh đề đúng.
Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của bất phương trình đó.
Chú ý: Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định $D$ của bất phương trình mà chỉ cần nêu điều kiện để các biểu thức có nghĩa. Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, gọi tắt là điều kiện của bất phương trình.
- Điều kiện để biểu thức:
$\sqrt {f\left( x \right)} $ xác định là $f\left( x \right) \geqslant 0$;
$\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}$ xác định là $f\left( x \right) \ne 0$;
$\dfrac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}$ xác định là $f\left( x \right) > 0$.
2. Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình
a) Định nghĩa
Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Kí hiệu: Nếu ${f_1}\left( x \right) < {g_1}\left( x \right)$ tương đương với ${f_2}\left( x \right) < {g_2}\left( x \right)$ thì ta viết ${f_1}\left( x \right) < {g_1}\left( x \right) \Leftrightarrow {f_2}\left( x \right) < {g_2}\left( x \right)$
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
b) Định lý và hệ quả
Định lý 1
Cho bất phương trình $f\left( x \right) < g\left( x \right)$ có tập xác định $D$; $y = h\left( x \right)$ là hàm số xác định trên $D$. Khi đó trên $D$, Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau:
$1)f\left( x \right) + h\left( x \right) < g\left( x \right) + h\left( x \right)$;
$2)f\left( x \right).h\left( x \right) < g\left( x \right).h\left( x \right)$ nếu $h\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in D$;
$3)f\left( x \right).h\left( x \right) > g\left( x \right).h\left( x \right)$ nếu $h\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in D$.
Hệ quả
Cho bất phương trình $f\left( x \right) < g\left( x \right)$ có tập xác định $D$. Khi đó
$1)f\left( x \right) < g\left( x \right) \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) < {g^3}\left( x \right)$ ;
$2)f\left( x \right) < g\left( x \right) \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)$ với $f\left( x \right) \geqslant 0,g\left( x \right) \geqslant 0$, $\forall x \in D$.
Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý:
Đặt điều kiện xác định của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định.
Đối với việc giải bất phương trình ta thường thực hiện phép biến đổi tương đương nên cần lưu ý tới điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương đương đó.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình: $x + \dfrac{5}{{4{x^2} - 9}} < 1$.
A. $x \ne \pm \dfrac{3}{2}$.
B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{3}{2}} \right\}$.
C. $x = \dfrac{3}{2}$.
D. $\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện xác định của bất phương trình là $4{x^2} - 9 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x \ne \pm \dfrac{3}{2}$.
Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau: $\sqrt {4 - 2x} \geqslant \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x - 1}}$.
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x \ne 1 - \sqrt 2 } \end{array}} \right.$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2} \\ {x \ne 1 - \sqrt 2 } \end{array}} \right.$
C. $x \leqslant 2.$
D. $x \ne 1 - \sqrt 2.$
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện xác định của bất phương trình là
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 2x \geqslant 0} \\ {{x^2} - 2x - 1 \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x \ne 1 \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x \ne 1 - \sqrt 2 } \end{array}} \right.$.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của các bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a) $2x + \sqrt {x - 3} \geqslant 2\sqrt {3 - x} + 3$.
b) $\sqrt { - {x^2} + 4x - 4} \leqslant 27 - 3{x^3}$.
c) $\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} }} < \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} }} + 2$.
d) $\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {3 - 4x} \right)} - 5x > \sqrt {4x - 3} - 7$.
Lời giải
a) Điều kiện xác định của bất phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 3 \geqslant 0} \\ {3 - x \geqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 3} \\ {x \leqslant 3} \end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.$.
Thử vào bất phương trình thấy $x = 3$ thỏa mãn.
Vậy tập nghiệp của bất phương trình là $S = \left\{ 3 \right\}$.
b) Điều kiện xác định của bất phương trình là
$ - {x^2} + 4x - 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow - {\left( {x - 2} \right)^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow x = 2$
Thay $x = 2$ vào thấy thỏa mãn bất phương trình.
Vậy tập nghiệp của bất phương trình là $S = \left\{ 3 \right\}$.
c) Điều kiện xác định của bất phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {x - 2 > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {x > 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 2$.
Với điều kiện đó bất phương trình tương đương với $\sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4$.
Đối chiếu với điều kiện ta thấy bất phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \emptyset $.
d) Điều kiện xác định của bất phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {3 - 4x} \right) \geqslant 0} \\ {4x - 3 \geqslant 0} \end{array}} \right.$ (*)
Dễ thấy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện (*).
Nếu $x \ne 1$ thì $(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 4x \geqslant 0} \\ {4x - 3 \geqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant \dfrac{3}{4}} \\ {x \geqslant \dfrac{3}{4}} \end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}} \right.$.
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là $x = 1$ hoặc $x = \dfrac{3}{4}$.
Thay $x = 1$ hoặc $x = \dfrac{3}{4}$ vào bất phương trình thấy đều thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ {1;\dfrac{3}{4}} \right\}$.
Ví dụ 4: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình $3x + 1 > 0$ (*) ?
a) $3x + 1 - \dfrac{1}{{x - 3}} > - \dfrac{1}{{x - 3}}$.
b) $3x + 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {3x + 1} }} > \dfrac{x}{{\sqrt {3x + 1} }}$.
Lời giải
Ta có $3x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{1}{3}$.
a) $3x + 1 - \dfrac{1}{{x - 3}} > - \dfrac{1}{{x - 3}}$ (1) không tương đương $3x + 1 > 0$ vì $x = 3$ là nghiệm của bất phương trình (*) nhưng không là nghiệm của bất phương trình (1).
b) $3x + 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {3x + 1} }} > \dfrac{x}{{\sqrt {3x + 1} }} \Leftrightarrow 3x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{1}{3}$.
Do đó $3x + 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {3x + 1} }} > \dfrac{x}{{\sqrt {3x + 1} }}$ tương đương $3x + 1 > 0$.
Ví dụ 5: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) $\left| {{x^2} + 2x} \right| + 3 \leqslant 0$.
b) $\dfrac{{\sqrt x }}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt x }} < 2$.
Lời giải
a) Ta có $\left| {{x^2} + 2x} \right| \geqslant 0 \Rightarrow \left| {{x^2} + 2x} \right| + 3 > 0$ do đó bất phương trình vô nghiệm.
b) ĐKXĐ: $x > 0$.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có $\dfrac{{\sqrt x }}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {\dfrac{{\sqrt x }}{{x + 1}}.\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt x }}} = 2$.
Suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 6: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$:
a) $\sqrt {\left| {x - 1} \right|} + {x^2} \geqslant 2x - 1$.
b) $\dfrac{1}{{{x^2} + 1}} - {\left( {x + 1} \right)^2} \leqslant \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}$.
Lời giải
a) BPT$ \Leftrightarrow \sqrt {\left| {x - 1} \right|} + {x^2} - 2x + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \sqrt {\left| {x - 1} \right|} + {\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0$.
Do $\sqrt {\left| {x - 1} \right|} \geqslant 0,{\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0$ với mọi $x$ nên $\sqrt {\left| {x - 1} \right|} + {\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0$ với mọi $x$.
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
b) BPT $ \Leftrightarrow - {\left( {x + 1} \right)^2} \leqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \geqslant 0$ (đúng với mọi $x$).
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
