BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1. Nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất đối với $x$ là biểu thức dạng $f\left( x \right) = ax + b$ trong đó $a,b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$.
2. Dấu của nhị thức bậc nhất
Định lí
Nhị thức $f\left( x \right) = ax + b$ có giá trị cùng dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy các giá trị trong khoảng $\left( { - \dfrac{b}{a}; + \infty } \right),$ trái dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy giá trị trong khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{a}} \right).$
Bảng xét dấu (phải cùng – trái trái):
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối
• Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của trị tuyệt đối để khử dấu trị tuyệt đối.
$\left| A \right| < B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} B > 0 \hfill \\ - B < A < B \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\left| A \right| < B \Leftrightarrow - B < A < B$
$\left| A \right| \leqslant B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} B \geqslant 0 \hfill \\ - B \leqslant A \leqslant B \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\left| A \right| \leqslant B \Leftrightarrow - B \leqslant A \leqslant B$
$\left| A \right| > B \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} B < 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} B \geqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} A < - B \hfill \\ A > B \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\left| A \right| > B \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} A < - B \hfill \\ A > B \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\left| A \right| > \left| B \right| \Leftrightarrow {A^2} > {B^2} \Leftrightarrow \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) > 0$
$\left| A \right| \geqslant \left| B \right| \Leftrightarrow {A^2} \geqslant {B^2} \Leftrightarrow \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) \geqslant 0$
Ví dụ 1: Cho nhị thức bậc nhất $f\left( x \right) = 23x - 20$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $f\left( x \right) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.
B. $f\left( x \right) > 0$ với $\forall x \in \left( { - \infty ;\dfrac{{20}}{{23}}} \right)$.
C. $f\left( x \right) > 0$ với $x > - \dfrac{5}{2}$.
D. $f\left( x \right) > 0$ với $\forall x \in \left( {\dfrac{{20}}{{23}}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $23x - 20 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{20}}{{23}}$, $a = 23 > 0$ .
Bảng xét dấu
Vậy $f\left( x \right) > 0$ với $\forall x \in \left( {\dfrac{{20}}{{23}}; + \infty } \right)$ .
Ví dụ 2: Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì $f\left( x \right) = 5x - \dfrac{{x + 1}}{5} - 4 - \left( {2x - 7} \right)$ luôn âm?
A. $\emptyset $.
B. $\mathbb{R}$.
C. $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.
D. $\left( { - 1; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $f\left( x \right) = 5x - \dfrac{{x + 1}}{5} - 4 - \left( {2x - 7} \right)$$ = \dfrac{{14}}{5}x + \dfrac{{14}}{5}.$
$f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$, $a = \dfrac{{14}}{5} > 0$ .
Bảng xét dấu
$f\left( x \right) < 0$ với $\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$ .
Vậy $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$.
Ví dụ 3: Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $x$ để $f\left( x \right) = mx + 6 - 2x - 3m$ luôn âm khi $m < 2$. Hỏi các tập hợp nào sau đây là phần bù của tập $S$?
A. $\left( {3; + \infty } \right)$.
B. $\left[ {3; + \infty } \right)$.
C. $\left( { - \infty ;3} \right)$.
D. $\left( { - \infty ;3} \right]$.
Lời giải
Chọn D.
$mx + 6 - 2x - 3m < 0$$ \Leftrightarrow \left( {2 - m} \right)x > 6 - 3m$$ \Leftrightarrow x > 3$ (do $m < 2$)
Vậy $S = \left( {3; + \infty } \right)$$ \Rightarrow {C_\mathbb{R}}S = \left( { - \infty ;3} \right]$.
Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right) \geqslant 0$.
A. $\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.
B. $\left[ { - 1;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.
C. $\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0;1} \right)$.
D. $\left[ { - 1;1} \right]$.
Lời giải
Chọn B.
Cho $x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} \right.$ .
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta được $x \in \left[ { - 1;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).$
Ví dụ 5: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) = - 3{x^2} + x - 2 < 0$.
A. $\left( { - \infty ;\dfrac{2}{3}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.
B. $\left( { - \infty ;\dfrac{2}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $\left( {\dfrac{2}{3};1} \right)$.
D. $\left[ {\dfrac{2}{3};1} \right]$.
Lời giải
Chọn C.
$f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2 - 3x} \right)$
Ta có bảng xét dấu
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S = \left( {\dfrac{2}{3};1} \right)$.
Ví dụ 6: Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì $f\left( x \right) = x\left( {5x + 2} \right) - x\left( {{x^2} + 6} \right)$ không dương.
A. $\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$.
B. $\left[ {1;4} \right]$.
C. $\left( {1;4} \right)$.
D. $\left[ {0;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$
Lời giải
Chọn D.
$x\left( {5x + 2} \right) - x\left( {{x^2} + 6} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 5x + 4} \right) \geqslant 0$.
Vậy$x \in \left[ {0;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$.
Ví dụ 7: Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{2}{{1 - x}} < 1.$
A. $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.
B. $\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $\left( {1; + \infty } \right)$.
D. $\left( { - 1;1} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
$\dfrac{2}{{1 - x}} < 1$$ \Leftrightarrow \dfrac{{2 - 1 + x}}{{1 - x}} < 0$$ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{1 - x}} < 0$.
Tập nghiệm của bất phương trình $S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Ví dụ 8: Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{ - 2x + 4}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}} \leqslant 0.$
A. $\left( { - \infty ; - \dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$.
B. $\left( { - \infty ; - \dfrac{1}{3}} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]$.
C. $( - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}) \cup {\text{[2}}; + \infty )$.
D. $\left[ { - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}} \right] \cup {\text{[2}}; + \infty )$.
Lời giải
Chọn C.
Bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = ( - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}) \cup {\text{[2}}; + \infty ).$
Ví dụ 9: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) = \dfrac{{2 - x}}{{2x + 1}} \geqslant 0.$
A. $S = \left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)$.
B. $S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
C. $S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( { - \dfrac{1}{2};2} \right]$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2.$
$2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{2}.$
Xét dấu $f\left( x \right)$:
Vậy $f\left( x \right) \geqslant 0$ khi $x \in \left( { - \dfrac{1}{2};2} \right]$.
Ví dụ 10: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} \leqslant 0.$
A. $S = \left( { - \infty ;1} \right)$.
B. $S = \left( { - 3; - 1} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.
C. $S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 1;1} \right]$.
D. $S = \left( { - 3;1} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
+$f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}$.
Ta có $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
${x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
+ Xét dấu $f\left( x \right)$:
+ Vậy $f\left( x \right) \leqslant 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 1;1} \right].$
Vậy $S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 1;1} \right].$
Ví dụ 11: Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì biểu thức $f\left( x \right) = \left| {2x - 5} \right| - 3$ không dương.
A. $1 \leqslant x \leqslant 4$.
B. $x = \dfrac{5}{2}$.
C. $x = 0$.
D. $x < 1$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\left| {2x - 5} \right| - 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow $$\left| {2x - 5} \right| \leqslant 3 \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{gathered} 2x - 5 \leqslant 3 \hfill \\ 2x - 5 \geqslant - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{gathered} x \leqslant 4 \hfill \\ x \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 1 \leqslant x \leqslant 4$.
Vậy $x \in \left[ {1,4} \right]$.
Ví dụ 12: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) = \left| {2x - 1} \right| - x > 0$ là
A. $\left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
B. $\left( {\dfrac{1}{3};1} \right)$.
C. $\mathbb{R}$.
D. $\emptyset $.
Lời giải
Chọn A.
+ Xét $x \geqslant \dfrac{1}{2}$ thì ta có nhị thức $f\left( x \right) = x - 1$ để $f\left( x \right) > 0$ thì $x > 1$.
+ Xét $x < \dfrac{1}{2}$ thì ta có nhị thức $f\left( x \right) = - 3x + 1$ để $f\left( x \right) > 0$ thì $x < \dfrac{1}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) > 0$ là $S = \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Ví dụ 13: Tìm $x$ để biểu thức$f\left( x \right) = \dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} - 1$ luôn âm.
A. $x < - \dfrac{1}{2},x > 2$.
B. $ - 2 < x < \dfrac{1}{2}$.
C. $x < - 2,x > - \dfrac{1}{2}$.
D. Vô nghiệm.
Lời giải
Chọn C.
$\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} < 1\left( * \right).$
Trường hợp $x \geqslant 1$, ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} < 1$$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{x + 2}} < 0$$ \Leftrightarrow x + 2 > 0$$ \Leftrightarrow x > - 2$. So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm bất phương trình là ${S_1} = \left[ {1, + \infty } \right)$.
Trường hợp $x < 1$, ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 - x}}{{x + 2}} < 1$$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1 - 2x}}{{x + 2}} < 0$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta có$x \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - \dfrac{1}{2},1} \right)$.
Vậy $x \in {S_1} \cup {S_2} = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - \dfrac{1}{2}, + \infty } \right)$.
Ví dụ 14: Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất$f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left| x \right| - 3}} - \dfrac{1}{2}$ luôn âm.
A. $x < - 5$ hay $x > - 3$.
B. $x < 3$ hay $x > 5$.
C. $\left| x \right| < 3$ hay $\left| x \right| > 5$.
D. $\forall x \in \mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\dfrac{1}{{\left| x \right| - 3}} - \dfrac{1}{2} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left| x \right| - 3}} - \dfrac{1}{2} < 0$$ \Leftrightarrow \dfrac{{5 - \left| x \right|}}{{2.\left( {\left| x \right| - 3} \right)}} < 0$.
Đặt $t = \left| x \right|$ , bpt trở thành $\dfrac{{5 - t}}{{2\left( {t - 3} \right)}} < 0$ .
Cho $5 - t = 0 \Leftrightarrow t = 5$ .
Cho $t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3$ .
Bảng xét dấu
Căn cứ bảng xét dấu ta được$\left| x \right| < 3$ hay $\left| x \right| > 5$.
Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình $f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 4} \right| - 7 > 0.$
A. $x = 4$.
B. $x = 5$.
C. $x = 6$.
D. $x = 7$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 4} \right| - 7 > 0 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 4} \right| > 7\left( * \right)$
Bảng xét dấu
Trường hợp $x \leqslant - 1$, ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow - x - 1 - x + 4 > 7$$ \Leftrightarrow x < - 4$. So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm ${S_1} = \left( { - \infty , - 4} \right)$.
Trường hợp $ - 1 < x \leqslant 4$, ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 - x + 4 > 7$$ \Leftrightarrow 5 > 7$ (vô lý). Do đó, tập nghiệm ${S_2} = \emptyset $.
Trường hợp $x > 4$, ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 + x - 4 > 7$$ \Leftrightarrow x > 5$. So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm ${S_3} = \left( {5, + \infty } \right)$.
Vậy $x \in {S_1} \cup {S_2} \cup {S_3} = \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)$.
Nên $x = 6$ thỏa YCBT.
