BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT CUNG
I. Giá trị lượng giác của cung $\alpha $
1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung $\mathop {AM}\limits^{ \curvearrowright } $ có sđ$\mathop {AM}\limits^{ \curvearrowright } = \alpha $.
$ \bullet $ Tung độ $y$ $ = $$\overline {OK} $của điểm $M$ gọi là sin của $\alpha $ và kí hiệu là $\sin \alpha.$
$\boxed{\sin \alpha = \overline {OK}.}$
$ \bullet $ Hoành độ $x = \overline {OH} $ của điểm $M$ gọi là côsin của $\alpha $ và kí hiệu là $\cos \alpha.$
$\boxed{\cos \alpha = \overline {OH}.}$
$ \bullet $ Nếu $\cos \alpha \ne 0,$ tỉ số $\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ gọi là tang của $\alpha $ và kí hiệu là $\tan \alpha $ (người ta còn dùng kí hiệu $\operatorname{tg} \alpha $)
$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.$
$ \bullet $ Nếu $\sin \alpha \ne 0,$ tỉ số $\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ gọi là côtang của $\alpha $ và kí hiệu là $\cot \alpha $ (người ta còn dùng kí hiệu $\operatorname{cotg} \alpha $): $\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.$
Các giá trị $\sin \alpha ,{\text{ }}\cos \alpha ,{\text{ }}tan\alpha ,{\text{ }}cot\alpha $ được gọi là các giá trị lượng giác của cung $\alpha.$
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
2. Hệ quả
a) $\sin \alpha $ và $\cos \alpha $ xác định với mọi $\alpha \in \mathbb{R}.$ Hơn nữa, ta có
$\boxed{ \begin{gathered} \sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,{\text{ }}\forall k \in \mathbb{Z}; \hfill \\ \cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,{\text{ }}\forall k \in \mathbb{Z}. \hfill \\ \end{gathered}}$.
b) Vì $ - 1 \leqslant \overline {OK} \leqslant 1;$ $ - 1 \leqslant \overline {OH} \leqslant 1$ nên ta có
$\boxed{ \begin{gathered} - 1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \hfill \\ - 1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1. \hfill \\ \end{gathered}}$.
c) Với mọi $m \in \mathbb{R}$ mà $ - 1 \leqslant m \leqslant 1$ đều tồn tại $\alpha $ và $\beta $ sao cho $\sin \alpha = m$ và $\cos \beta = m.$
d) $\tan \alpha $ xác định với mọi $\alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
e) $\cot \alpha $ xác định với mọi $\alpha \ne k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
f) Dấu của các giá trị lượng giác của góc $\alpha $ phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung $\mathop {AM}\limits^{ \curvearrowright } = \alpha $ trên đường tròn lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
II. Ý nghĩa hình học của tang và côtang
1. Ý nghĩa hình học của $\tan \alpha $
Từ $A$ vẽ tiếp tuyến $t'At$ với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại $A$.
Gọi $T$ là giao điểm của $OM$ với trục $t'At.$
$\tan \alpha $ được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow {AT} $ trên trục $t'At.$ Viết: $\boxed{\tan \alpha = \overline {AT} }$
Trục $t'At$ được gọi là trục tang.
2. Ý nghĩa hình học của $\cot \alpha $
Từ $B$ vẽ tiếp tuyến $s'Bs$ với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại $B$.
Gọi $S$ là giao điểm của $OM$ với trục $s'Bs$
$\cot \alpha $ được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow {BS} $ trên trục $s'Bs$. Viết: $\boxed{\cot \alpha = \overline {BS} }$
Trục $s'Bs$ được gọi là trục côtang.
Nhận xét
$\boxed {\begin{gathered} \tan \left( {\alpha + k\pi } \right) = \tan \alpha ,{\text{ }}\forall k \in \mathbb{Z}; \hfill \\ \cot \left( {\alpha + k\pi } \right) = \cot \alpha ,{\text{ }}\forall k \in \mathbb{Z}. \hfill \\ \end{gathered}} $.
III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các đẳng thức sau:
${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$, $\alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
$\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$, $\alpha \ne k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
$\tan \alpha.\cot \alpha = 1,$ $\alpha \ne \dfrac{{k\pi }}{2},{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
$1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},$ $\alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
$1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},$ $\alpha \ne k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
"cos - đối, sin – bù, phụ - chéo, hơn kém $\pi $ tang côtang, hơn kém $\dfrac{\pi }{2}$ chéo sin".
Ví dụ 1: Cho $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) $\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right)$.
b) $\tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)$.
c) $\cos \left( { - \dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right).\tan \left( {\pi - \alpha } \right)$.
d) $\sin \dfrac{{14\pi }}{9}.\cot \left( {\pi + \alpha } \right)$.
Lời giải
a) Ta có $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $$ \Rightarrow $$\pi < \dfrac{\pi }{2} + \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2}$ $ \Rightarrow $$\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right) < 0$.
b) Ta có $ - \dfrac{\pi }{2} > - \alpha > - \pi $$ \Rightarrow $ $0 > \dfrac{{3\pi }}{2} - \alpha > - \dfrac{\pi }{2}$$ \Rightarrow $ $\tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) < 0$.
c) Ta có $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ $ \Rightarrow $$0 < - \dfrac{\pi }{2} + \alpha < \dfrac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow $ $\cos \left( { - \dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right) > 0$.
Và $0 < \pi - \alpha < \dfrac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow $$\tan \left( {\pi + \alpha } \right) > 0$.
Vậy $\cos \left( { - \dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right).\tan \left( {\pi + \alpha } \right) > 0$.
d) Ta có $\dfrac{{3\pi }}{2} < \dfrac{{14\pi }}{9} < 2\pi $$ \Rightarrow $$\sin \dfrac{{14\pi }}{9} < 0$.
$\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ $ \Rightarrow $$\dfrac{{3\pi }}{2} < \pi + \alpha < 2\pi $suy ra $\cot \left( {\pi + \alpha } \right) < 0$.
Vậy $\sin \dfrac{{14\pi }}{9}.\cot \left( {\pi + \alpha } \right) > 0$.
Ví dụ 2: Điểm cuối của $\alpha $ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng
trong các kết quả sau đây.
A. $\sin \alpha > 0.$
B. $\cos \alpha < 0.$
C. $\tan \alpha < 0.$
D. $\cot \alpha < 0.$
Lời giải
Chọn A.
Điểm cuối của $\alpha $ thuộc góc phần tư thứ nhất nên $\sin \alpha > 0$.
Ví dụ 3: Cho $0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\sin \left( {\alpha - \pi } \right) \geqslant 0.$
B. $\sin \left( {\alpha - \pi } \right) \leqslant 0.$
C. $\sin \left( {\alpha - \pi } \right) < 0.$
D. $\sin \left( {\alpha - \pi } \right) < 0.$
Lời giải
Chọn D.
Ta có $0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}$$ \Rightarrow $$ - \pi < \alpha - \pi < - \dfrac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow $ điểm cuối cung $\alpha - \pi $ thuộc góc phần tư thứ ba nên $\sin \left( {\alpha - \pi } \right) < 0.$
Ví dụ 4: Cho $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi.$ Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?
A. $\sin \left( {\pi + \alpha } \right).$
B. $\cot \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right).$
C. $\cos \left( { - \alpha } \right).$
D. $\tan \left( {\pi + \alpha } \right).$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \sin \alpha ;$ $\cot \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha ;$ $\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha ;$ $\tan \left( {\pi + \alpha } \right) = \tan \alpha.$
Do $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên $\left\{ \begin{gathered} \sin \alpha > 0 \hfill \\ \cos \alpha < 0 \hfill \\ \tan \alpha < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ví dụ 5: Cho $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Xác định dấu của biểu thức $M = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right).\tan \left( {\pi - \alpha } \right).$
A. $M \geqslant 0.$
B. $M > 0.$
C. $M \leqslant 0.$
D. $M < 0.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow 0 < - \dfrac{\pi }{2} + \alpha < \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \left( { - \dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right) > 0 \hfill \\ \dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow 0 < \pi - \alpha < \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \tan \left( {\pi - \alpha } \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Do đó $M > 0.$
Ví dụ 6: Cho $\cos \alpha = \dfrac{1}{3}$. Khi đó $\sin \left( {\alpha - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)$ bằng
A. $ - \dfrac{2}{3}.$
B. $ - \dfrac{1}{3}.$
C. $\dfrac{1}{3}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\sin \left( {\alpha - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{2} - 2\pi } \right) = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
Ví dụ 7: Cho $\cos {15^0} = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}$. Giá trị của $\tan {15^o}$ bằng :
A. $\sqrt 3 - 2$.
B. $\dfrac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}$.
C. $2 - \sqrt 3 $.
D. $\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{4}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có ${\tan ^2}{15^0} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}{{15}^0}}} - 1 = \dfrac{4}{{2 + \sqrt 3 }} - 1 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}$$ \Rightarrow \tan {15^0} = 2 - \sqrt 3 $.
Ví dụ 8: Cho $\tan \alpha = - \dfrac{4}{5}$với $\dfrac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{2}}} < \alpha < 2\pi $. Khi đó :
A. $\sin \alpha = - \dfrac{4}{{\sqrt {41} }}$, $\cos \alpha = - \dfrac{5}{{\sqrt {41} }}$.
B. $\sin \alpha = \dfrac{4}{{\sqrt {41} }}$, $\cos \alpha = \dfrac{5}{{\sqrt {41} }}$.
C. $\sin \alpha = - \dfrac{4}{{\sqrt {41} }}$$\cos \alpha = \dfrac{5}{{\sqrt {41} }}$.
D. $\sin \alpha = \dfrac{4}{{\sqrt {41} }}$, $\cos \alpha = - \dfrac{5}{{\sqrt {41} }}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$ \Rightarrow 1 + \dfrac{{16}}{{25}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$ \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \dfrac{{41}}{{25}}$$ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{{25}}{{41}}$$ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \dfrac{5}{{\sqrt {41} }}$.
Do $\dfrac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $$ \Rightarrow \cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{5}{{\sqrt {41} }}$.
Do đó $\sin \alpha = - \dfrac{4}{{\sqrt {41} }}$.
Ví dụ 9: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\sin \alpha = \dfrac{{12}}{{13}}$ và $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Tính $\cos \alpha.$
A. $\cos \alpha = \dfrac{1}{{13}}.$
B. $\cos \alpha = \dfrac{5}{{13}}.$
C. $\cos \alpha = - \dfrac{5}{{13}}.$
D. $\cos \alpha = - \dfrac{1}{{13}}.$
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\left\{ \begin{gathered} \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \dfrac{5}{{13}} \hfill \\ \dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \cos \alpha = - \dfrac{5}{{13}}.$
Ví dụ 10: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\tan \alpha = 2$ và ${180^{\text{o}}} < \alpha < {270^{\text{o}}}.$ Tính $P = \cos \alpha + \sin \alpha.$
A. $P = - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
B. $P = 1 - \sqrt 5.$
C. $P = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}.$
D. $P = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\left\{ \begin{gathered} {\cos ^2}\alpha = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{1}{5} \to \cos \alpha = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ {180^{\text{o}}} < \alpha < {270^{\text{o}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \cos \alpha = - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}$
$ \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha.\cos \alpha = - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$. Do đó, $\sin \alpha + \cos \alpha = - \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} = - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
Ví dụ 11: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Tính $P = \tan \left( {\dfrac{{7\pi }}{2} - \alpha } \right)$.
A. $P = 2\sqrt 2.$
B. $P = - 2\sqrt 2.$
C. $P = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
D. $P = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $P = \tan \left( {\dfrac{{7\pi }}{2} - \alpha } \right) = \tan \left( {3\pi + \dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.
Theo giả thiết: $\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow - \sin \alpha = - \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{1}{3}$.
Ta có $\left\{ \begin{gathered} \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} \hfill \\ \dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \cos \alpha = - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow P = - 2\sqrt 2.$
Ví dụ 12:
a) Cho $\cos \alpha = \dfrac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $A = \dfrac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}$.
b) Cho $\tan \alpha = 3$. Tính giá trị của biểu thức $B = \dfrac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}$.
c) Cho $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$và ${\text{9}}{{\text{0}}^{\text{0}}} < \alpha < {180^0}$. Tính giá trị của biểu thức $C = \dfrac{{\cot \alpha - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}$.
Lời giải
a) Ta có $A = \dfrac{{\tan \alpha + 3\dfrac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \dfrac{1}{{\tan \alpha }}}}$$ = \dfrac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}$$ = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 2}}{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}$$ = 1 + 2{\cos ^2}\alpha $.
Suy ra $A = 1 + 2.\dfrac{4}{9} = \dfrac{{17}}{9}$.
b) $B = \dfrac{{\dfrac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - \dfrac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \dfrac{{3{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \dfrac{{2\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}$$ = \dfrac{{\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right) - \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}$.
Suy ra $B = \dfrac{{3\left( {9 + 1} \right) - \left( {9 + 1} \right)}}{{27 + 3 + 2.3\left( {9 + 1} \right)}} = \dfrac{2}{9}$.
c) ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$$ \Rightarrow $${\cos ^2}\alpha {\text{ = 1}} - {\sin ^2}\alpha = 1 - \dfrac{9}{{25}} = \dfrac{{16}}{{25}}$$ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{gathered} {\text{cos}}\alpha = \dfrac{4}{5} \hfill \\ {\text{cos}}\alpha = - \dfrac{4}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vì ${\text{9}}{{\text{0}}^{\text{0}}} < \alpha < {180^0}$$ \Rightarrow {\text{cos}}\alpha = - \dfrac{4}{5}$. Do đó:$\tan \alpha = - \dfrac{3}{4}$ và $\cot \alpha = - \dfrac{4}{3}$.
$C = \dfrac{{\cot \alpha - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}$ $ = \dfrac{{ - \dfrac{4}{3} - 2.\left( { - \dfrac{3}{4}} \right)}}{{ - \dfrac{3}{4} + 3.\left( { - \dfrac{4}{3}} \right)}}$$ = \dfrac{{ - 2}}{{57}}$.
Ví dụ 13: Cho $3{\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = \dfrac{1}{2}$. Tính $A = 2{\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha $.
Lời giải
Ta có
$3{\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = \dfrac{1}{2}$$ \Leftrightarrow 3{\sin ^4}\alpha - {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{2}$$ \Leftrightarrow 6{\sin ^4}\alpha - 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha + {{\sin }^4}\alpha } \right) = 1$$ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}\alpha + 4{\sin ^2}\alpha - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {2{{\sin }^2}\alpha - 1} \right)\left( {2{{\sin }^2}\alpha + 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha - 1 = 0$ (Do $2{\sin ^2}\alpha + 3 > 0$).
Suy ra ${\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{2}$.
Ta lại có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha $$ = 1 - \dfrac{1}{2}$$ = \dfrac{1}{2}$.
Suy ra $A = 2{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}$$ = \dfrac{1}{4}$.
Ví dụ 14: Biết $\sin x + \cos x = m$. Tính $\sin x\cos x$ và $\left| {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right|$.
Lời giải
Ta có ${\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}$$ = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x$$ = 1 + 2\sin x\cos x$ (*).
Mặt khác $\sin x + \cos x = m$ nên ${m^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha $ hay $\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}$.
Đặt $A = \left| {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right|$. Ta có
$A = \left| {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)} \right|$$ = \left| {\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)} \right|$
$ \Rightarrow $${A^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}{\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}$$ = \left( {1 + 2\sin x\cos x} \right)\left( {1 - 2\sin x\cos x} \right)$
$ \Rightarrow $${A^2} = \left( {1 + \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)\left( {1 - \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)$$ = \dfrac{{3 + 2{m^2} - {m^4}}}{4}$.
Vậy $A = \dfrac{{\sqrt {3 + 2{m^2} - {m^4}} }}{2}$.
Ví dụ 15: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi }{4} < \alpha < \dfrac{\pi }{2}$. Tính $P = \sqrt {{{\tan }^2}\alpha - 2\tan \alpha + 1} $.
A. $P = - \dfrac{1}{3}.$
B. $P = \dfrac{1}{3}.$
C. $P = \dfrac{7}{3}.$
D. $P = - \dfrac{7}{3}.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $P = \sqrt {{{\left( {\tan \alpha - 1} \right)}^2}} $$ = \left| {\tan \alpha - 1} \right|$.
Vì $\dfrac{\pi }{4} < \alpha < \dfrac{\pi }{2}$$ \Rightarrow $$\tan \alpha > 1$$ \Rightarrow $$P = \tan \alpha - 1.$
Theo giả thiết: $\left\{ \begin{gathered} \sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \dfrac{4}{5} \hfill \\ \dfrac{\pi }{4} < \alpha < \dfrac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} \right..$$ \Rightarrow $$\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$$ \Rightarrow $$\tan \alpha = \dfrac{4}{3}$$ \Rightarrow $$P = \dfrac{1}{3}$.
Ví dụ 16: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < 2\pi $ và $\cot \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 $. Tính giá trị của biểu thức $P = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{6}} \right) + \cos \alpha $.
A. $P = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
B. $P = 1.$
C. $P = - 1.$
D. $P = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\left\{ \begin{gathered} \dfrac{\pi }{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \dfrac{{5\pi }}{6} < \alpha + \dfrac{\pi }{3} < \dfrac{{7\pi }}{3} \hfill \\ \cot \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Rightarrow \alpha + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{11\pi }}{6}$$ \Rightarrow \alpha = \dfrac{{3\pi }}{2}.$
Thay $\alpha = \dfrac{{3\pi }}{2}$ vào $P$, ta được $P = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Ví dụ 17: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $cot\alpha = \dfrac{1}{3}.$ Tính $P = \dfrac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}.$
A. $P = - \dfrac{{15}}{{13}}.$
B. $P = \dfrac{{15}}{{13}}.$
C. $P = - 13.$
D. $P = 13.$
Lời giải
Chọn D.
Chia cả tử và mẫu của $P$ cho $\sin \alpha $ ta được $P = \dfrac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }}$$ = \dfrac{{3 + 4.\dfrac{1}{3}}}{{2 - 5.\dfrac{1}{3}}}$$ = 13$.
Ví dụ 18: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\tan \alpha + \cot \alpha = 2.$ Tính $P = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha.$
A. $P = 1.$
B. $P = 2.$
C. $P = 3.$
D. $P = 4.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $P = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha $$ = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} - 2\tan \alpha.\cot \alpha $$ = {2^2} - 2.1$$ = 2$.
Ví dụ 19: Biểu thức $A = \dfrac{{\cos {{750}^0} + \sin {{420}^0}}}{{\sin \left( { - {{330}^0}} \right) - \cos \left( { - {{390}^0}} \right)}}$ có giá trị rút gọn bằng
A. $ - 3 - \sqrt 3 $.
B. $2 - 3\sqrt 3 $.
C. $\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}}$.
D. $\dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}$.
Lời giải
Chọn A.
$A = \dfrac{{\cos {{30}^0} + \sin {{60}^0}}}{{\sin {{30}^0} - \cos {{30}^0}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = - 3 - \sqrt 3 $.
Ví dụ 20: Đơn giản biểu thức $A = \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right)$, ta được:
A. $A = \cos a + \sin a$.
B. $A = 2\sin a$.
C. $A = \sin a-\cos a$.
D. $A = 0$.
Lời giải
Chọn D.
$A = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi - \alpha } \right)$$A = \sin \alpha - \sin \alpha = 0$.
Ví dụ 21: Đơn giản biểu thức $A = \left( {1-{{\sin }^2}x} \right).{\cot ^2}x + \left( {1-{{\cot }^2}x} \right),$ ta được :
A. $A = {\sin ^2}x$.
B. $A = {\cos ^2}x$.
C. $A = -{\sin ^2}x$.
D. $A = -co{s^2}x$.
Lời giải
Chọn A.
$A = \left( {1--{{\sin }^2}x} \right).{\cot ^2}x + \left( {1--{{\cot }^2}x} \right)$$ = {\cot ^2}x - {\cos ^2}x + 1 - {\cot ^2}x$$ = {\sin ^2}x$.
Ví dụ 22: Biểu thức $A = \dfrac{{\sin {{515}^0}.\cos \left( { - {{475}^0}} \right) + \cot {{222}^0}.\cot {{408}^0}}}{{\cot {{415}^0}.\cot \left( { - {{505}^0}} \right) + \tan {{197}^0}.\tan {{73}^0}}}$ có kết quả rút gọn bằng
A. $\dfrac{1}{2}{\sin ^2}{25^0}$.
B. $\dfrac{1}{2}{\cos ^2}{55^0}$.
C. $\dfrac{1}{2}{\cos ^2}{25^0}$.
D. $\dfrac{1}{2}{\sin ^2}{65^0}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
$A = \dfrac{{\sin {{155}^0}.\cos {{115}^0} + \cot {{42}^0}.\cot {{48}^0}}}{{\cot {{55}^0}.\cot \left( { - {{145}^0}} \right) + \tan {{17}^0}.cot{{17}^0}}}$$ \Leftrightarrow A = \dfrac{{\sin {{25}^0}.\left( { - \sin {{25}^0}} \right) + \cot {{42}^0}.tan{{42}^0}}}{{\cot {{55}^0}.tan{{55}^0} + 1}}$
$ \Leftrightarrow A = \dfrac{{ - {{\sin }^2}{{25}^0} + 1}}{2}$$ \Leftrightarrow A = \dfrac{{{\text{co}}{{\text{s}}^2}{{25}^0}}}{2}$.
Ví dụ 23: Đơn giản biểu thức $A = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right)$, ta có :
A. $A = 2\sin a$.
B. $A = 2\cos a$.
C. $A = \sin a-\cos a$.
D. $A = 0$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
$A = \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha $$ \Leftrightarrow A = 2\sin \alpha $.
Ví dụ 24: Tính giá trị biểu thức $P = \tan 10^\circ.\tan 20^\circ.\tan 30^\circ.....\tan 80^\circ.$
A. $P = 0.$
B. $P = 1.$
C. $P = 4.$
D. $P = 8.$
Lời giải
Chọn B.
Áp dụng công thức $\tan x.\tan \left( {90^\circ - x} \right) = \tan x.\cot x = 1.$
Do đó $P = 1.$
Ví dụ 25: Đơn giản biểu thức $A{\text{ }} = \dfrac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\sin x + \cos x}}$ ta có
A. $A = \cos x + \sin x$.
B. $A = \cos x--\sin x$.
C. $A = \sin x--\cos x$.
D. $A = - \sin x--\cos x$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
$A{\text{ }} = \dfrac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\sin x + \cos x}} = \dfrac{{2{{\cos }^2}x - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}}$
$ = \dfrac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = \cos x - \sin x$.
Như vậy, $A = \cos x--\sin x$.
Ví dụ 26: Biết $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$, mệnh đề nào sau đây đúng:
A. $\sin \left( {A + C} \right) = - \sin B.$
B. $\cos \left( {A + C} \right) = - \cos B.$
C. $\tan \left( {A + C} \right) = \tan B.$
D. $\cot \left( {A + C} \right) = \cot B.$
Lời giải
Chọn B.
Vì $A,B,C$ là ba góc của một tam giác suy ra $A + C = \pi - B.$
Khi đó $\sin \left( {A + C} \right) = \sin \left( {\pi - B} \right) = \sin B;\cos \left( {A + C} \right) = \cos \left( {\pi - B} \right) = - \cos B.$
$\tan \left( {A + C} \right) = \tan \left( {\pi - B} \right) = - \tan B;\cot \left( {A + C} \right) = \cot \left( {\pi - B} \right) = - \cot B.$
Ví dụ 27: Cho $A,$$B,$$C$ là ba góc của một tam giác. Hãy tìm hệ thức sai:
A. $\sin A = - \sin \left( {2A + B + C} \right).$
B. $\sin A = - \cos \dfrac{{3A + B + C}}{2}.$
C. $\cos C = \sin \dfrac{{A + B + 3C}}{2}.$
D. $\sin C = \sin \left( {A + B + 2C} \right).$
Lời giải
Chọn D.
$A,B,C$ là ba góc của một tam giác $ \Rightarrow $ $A + B + C = {180^0} \Leftrightarrow A + B = {180^0} - C.$
Ta có $\sin \left( {A + B + 2C} \right) = \sin \left( {{{180}^0} - C + 2C} \right) = \sin \left( {{{180}^0} + C} \right) = - \sin C.$
